피보나치 수열(數列) - 1

 

 

꽃잎의 수가 많을수록 꽃잎들은 중심을 향해 말려들어가며 소용돌이(나선)를 이루는 배열을 많이 볼 수 있다. 해바라기 씨를 까먹다가 피보나치수열에 꽂혀 사진에 줄을 그어가며 세어봤다. 중심을 향해서 시계방향으로 말려들어가는 줄(파란색)이 55개, 반방향으로 말려들어가는 나선(빨간색)이 34줄로 신기하게도 피보나치수열과 일치한다.

 

레오나르도 피보나치(1170~1250)는 이탈리아의 수학자로 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아 등의 나라를 여행하며 아라비아에서 발전된 수학을 두루 섭렵했고, 이를 유럽인들에게 소개하여 유럽 여러 나라의 수학을 발전시키는 데 영향을 끼쳤으며, 특히 아라비아 숫자를 유럽에 보급시켜 유명하다.

 

피보나치 수열이란  첫 번째 항의 값이 0이고 두 번째 항의 값이 1일 때, 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 이루어지는 수열 즉 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…  와 같이 앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 되는 수의 배열을 말하는데 이 수열은 L.피보나치가 1202년 《산술(算術)의 서(書)》에서 처음으로 제기하였다. 그는 자신의 저서에서 다음과 같은 문제를 실었다.

 

갖 태어난 한 쌍(암놈과 수놈)의 어린 토끼가 아래와 같은 규칙에 따라 새끼를 낳는다면, 1년 뒤에는 모두 몇 쌍의 토끼가 존재하는가?

 

단, 전제는  1) 생후 1개월 된 한 쌍의 토끼는 새끼를 낳을 수 없지만, 태어난 지 두 달이 되면 어미토끼가 되어 한 쌍의 새끼를 낳는다.  2) 어미토끼 한 쌍은 매달 한 쌍의 토끼를 낳는다. 3) 도중에 죽는 토끼는 없다고 가정한다.

 

 

 

답은 아래 (그림)표와 같이 나온다.

 

설명을 하자면, 갖 태어난 한 쌍의 토끼는  두 달을 기다려야 번식하므로하므로 1개월 후에는 여전히 한 쌍의 토끼만 있다. 2개월 후에는 어미토끼로 성장하여 1쌍의 새끼토끼를 낳아 모두 2쌍의 토끼가 있게 된다.

3개월 후에는 어미 토끼가 또 새끼토끼 한 쌍을 낳지만 지난달에 태어난 새끼토끼는 한 달을 더 기다려야  어미토끼가 되므로 모두 3쌍의 토끼가 있게 된다.  같은 요령으로 계산을 해 보면 4개월 후에는 5쌍, 5개 월 후에는 8쌍, 6개월 후에는 13쌍...의 토끼가 있게 된다. 즉, 앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 된다는 피보나치 수열의 규칙에 따라 토끼의 쌍이 존재하게 된다.

 

새끼가 1달 후에 中것이 되고, 2달 후면 어미가 되어, 반드시 그 달에 새끼를 낳게 된다는 것을 전제로 좀 더 알기쉽도록 내가 아래의 표를 만들어 보았다.

 

개월	토끼의 성장과정과 번식								토끼 쌍
시작전	0								0
처음	①새끼								1
1달 후	① 中								1
2달 후	①어미	②새끼							2
3달 후	①어미	② 中	③새끼						3
4달 후	①어미	② 어미	③中	④새끼	⑤새끼				5
5달 후	①어미	② 어미	③어미	④中	⑤中	⑥새끼	⑦새끼	⑧새끼	8

    

꽃잎의 수

 

진달래(1개), 백합(3개) 벚꽃 채송화(5개), 코스모스(8개), 금잔화(13개), 장미(21개), 쑥부쟁이(34개)...

와 같이 꽃잎의 수는 재미있는 수열을 이루는데 이들 꽃잎의 수를 차례로 나열하면 3, 5, 8, 13, 21, 34이다.

우리가 쉽게 만나는 꽃들의 꽃잎의 개수를 세어보면 90% 이상이 피보나치 수열에 나오는 숫자들과 일치한다. 이와 같이 꽃잎의 개수들이 피보나치 수열에 나오는 숫자와 일치되는 이유는 다음과 같은 두 가지이유 때문이다.

 

꽃잎이 봉우리를 이루어 꽃 안의 암술과 수술을 보호하기 위해서는 꽃잎들이 이리저리 겹쳐져야만 한다.

꽃잎의 개수가 1, 3, 5, 8, 13,...가 되면 가장 효율적으로 꽃잎을 겹칠 수 있다. 또한 식물이 제대로 성장하기 위해서는 반드시 광합성을 해야만 하는데 피보나치 수열에 따라 꽃잎이 나게 되면 햇빛을 가장 잘 받을 수 있으며, 최소의 공간에 최대의 꽃잎을 가지게 된다.

 

※ 흔히들 백합의 꽃잎을 6개로 알고 있는데 이는 사실과 다르다. 백합은 꽃잎이 3개, 꽃받침이 3개인데 꽃받침을 꽃잎으로 혼동해 백합의 꽃잎은 6개라고 말한다. 그리고 품종이 개량된 꽃들의 꽃잎의 개수는 피보나치 수열과 일치하지 않는 경우도 많다..

 

황금비율

 

피보나치 수열의 인접한 두수의 비(뒷수와 앞수의 비)를 분수의 형태로 하여 수열을 만들면,  이 두 수열은 각각  (√5－1)/2＝0.6180339…와 (√5＋1)/2＝1.6180339… 에 수렴한다. 이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다.

 

 

 

예를 들어, 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다. 5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항이다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열이 13:8 또는 34:21 등으로 되어 있는 경우가 많다.

 

또한 앵무조개의 달팽이 모양 껍데기의 구조도 황금분할의 비를 잘 보여 준다. 이러한 황금분할의 비는 예로부터 자연계의 가장 안정된 상태를 나타내는 것으로 알려져 있으며, 수학·음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다. 레오나르도 다 빈치의 미술작품들이 철저히 황금분할을 이용한 것이라든지, 음악에서 고전파의 소나타 형식이 황금분할의 비를 나타내고 있는 것 등이 그 예이다. 특히 B.바르토크의 《현악기와 타악기 및 첼리스트를 위한 음악》은 피보나치 수열에 따라 새로운 주제의 도입, 악기의 배치, 음색 변경 등의 시점을 정한 것으로 유명하다.