피보나치수열 - 2 (황금비율)

피보나치수열과 홤금비, 황금나선 동영상 보기

☞ <http://www.youtube.com/watch?v=AlFMWIibrcw>

 

 

 

피보나치수열이란 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89....와 같이 첫 번째 항의 값이 0이고 두 번째 항의 값이 1일 때, 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 이루어지는 수열을 말한다.

 

황금비율

 

피보나치수열의 인접한 두수의 비(앞,뒷수의 비)를 아래 <표1,2>와 같이 분수형태의 수열로 만들고,

서로 이웃하는 항을 나누다 보면 1.6180에 가까운 수가 나오게 된다.

곧 이 두 수열은 각각 (√5－1)/2＝0.6180339…와  (√5＋1)/2＝1.6180339에 수렴되는데,

이것은 황금분할의 비(황금비율)로 잘 알려진 수로 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다.

 

※참고  √5 = 2.2360679775 (웹계산기로 계산함) 

☞ http://search.naver.com/search.naver?sm=tab_hty.top&where=nexearch&ie=utf8&query=%E2%88%9A5)

 

<표 1>

앞수(A)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233
뒷수(B)	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377
比 (A/B)	1.0000	0.5000	0.6667	0.6000	0.6250	0.6154	0.6190	0.6176	0.6182	0.6180	0.6181	0.6180	0.6180

 

<표2>

뒷수(B)	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377
앞수(A)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233
比 (B/A)	1.0000	2.0000	1.5000	1.6667	1.60000	1.6250	1.6154	1.6190	1.6176	1.6182	1.6180	1.6181	1.6180

 

 

자연에서 관찰되는 피보나치수열

 

겨울산에서 솔방울을 따다가 나선을 관찰했다. 

 시계방향 나선이 8줄, 반시계방향 나선이 13줄로 피보나치수열의 서로 이웃하는 두 수다.

 

해바라기, 시계방향 나선이 34줄, 반시계방향 나선이 55줄로 피보나치수열의 서로 이웃하는 두 수다.

 

 

앵무조개 껍질, 달팽이 껍질 등  바다생물 껍질에서도 신기하게 피보나치 수열을 발견할 수 있다.

 

정사각형을 하나 만들고 같은 정사각형을 만들어 붙인다.

그리고 그 옆면에 맞는 정사각형을 계속 붙여나간다. 그러면 아래와 같이 바로 피보나치 수열이 만들어진다.

각 정사각형의 한 꼭지점을 중심으로 하는 원을 그리면 나선이 만들어 진다.

 

황금비(黃金比)는 무엇일까? [초등수학개념사전에서...]

 

황금비가 들어 있는 정오각형 별

 

 

황금비의 유래는?

 

그리스의 수학자인 피타고라스는 만물의 근원을 수로 보고, 세상의 모든 일을 수와 관련짓기를 좋아했다. 그는 인간이 생각하는 가장 아름다운 비로 황금비를 생각했다. 그래서 황금비가 들어 있는 정오각형 모양의 별을 피타고라스학파의 상징으로 삼았다. 그를 사로잡은 황금비란 무엇일까? 오른쪽 그림의 정오각형별에서 짧은 변과 긴 변의 길이의 비는 5 : 8이다. 이때, 짧은 변을 1로 하면, 5 : 8은 1 : 1.6이 된다. 이것이 바로 황금비다. 피타고라스학파는 정오각형의 각 대각선은 서로를 황금비로 나누면서 가운데 작은 정오각형을 만든다는 신비한 사실을 발견했던 것이다.

 

 

아름다운 황금의 비율, 황금분할

 

황금비는 위와 같이 (짧은 선분) : (긴 선분)=(긴 선분) : (긴 선분)+(짧은 선분)을 만족하는 선분의 분할에 대한 비를 말한다. 그리고 이와 같이 선분을 나누는 것을 황금분할이라고 한다. 긴 선분의 길이를 계산하면 1.618033989…로 소수점 아래 숫자가 끝없이 계속되는 소수인데 일반적으로는 소수 셋째 자리까지 나타낸 1 : 1.618을 황금비로 사용한다. 피타고라스는 왜 황금비가 아름답다고 했을까? 그건 바로 고대 그리스에서는 아름다움의 본질을 비례와 질서 그리고 조화라고 생각했기 때문이다. 그리고 이 황금비를 가장 안정감 있고 균형 있는 비율로 느꼈기 때문이다. 그래서 그리스 시대에는 작은 술잔에서부터 신전에 이르기까지 황금비율에 딱 들어맞도록 만들었다.

 

완전한 사각형, 황금사각형

 

황금비 하면 황금사각형을 빼놓을 수가 없다. 색깔이 황금색이어서 황금사각형이냐고? 아니다. 가로와 세로의 비가 황금비인 직사각형을 황금사각형이라고 한다. 황금사각형은 완전사각형이라고도 한다. 사람들에게 여러 가지의 사각형 모양을 제시하고 그중에서 가장 안정적으로 느껴지거나 눈에 가장 먼저 들어오는 사각형을 고르라면 대부분의 사람들은 황금비율이 들어 있는 직사각형 즉 황금사각형을 고른다고 한다.

 

황금사각형

 

 

황금비를 찾아서

[건축물의 황금비] 아름다움과 조화를 나타내는 황금비는 아주 오랜 옛날부터 건축과 미술 등에서 찾아볼 수 다. 특히 황금사각형은 모든 기하학적 도형 중에서 시각적으로 가장 안정된 모양이라고 하여 고대의 건축, 회화, 조각 등에 많이 사용되어 왔지. 대표적인 예로는 그리스 아테네의 파르테논 신전, 밀로의 비너스 조각 등이 있다.

 

그리스 아테네의 파르테논 신전과 황금비

 

신전을 정면에서 보았을 때 외부 윤곽은 완벽한 황금사각형이다. 또 신전 기둥의 윗부분은 전체 높이를 황금분할하고, 왼쪽에서 넷째 번 기둥과 다섯째 번 기둥은 각각 전체 가로의 길이를 1 : 1.618로 황금분할해.

 

 

밀로의 비너스상과 황금비

 

 

비너스 조각상의 여러 부분에서도 황금비가 완벽하게 나타나고 있음을 찾아볼 수 있다. 배꼽을 중심으로 상반신과 하반신의 비, 상반신에서 목을 기준으로 머리 부분과 그 아래 배꼽까지의 비, 하반신에서 무릎을 기준으로 무릎 위 배꼽까지와 무릎 아래의 비가 모두 1 : 1.618이다.

 

 

[자연 속의 황금비]

자연 속에 나타나는 피보나치 수열은 황금비와 관계가 있다. 피보나치 수열에서 연속하는 두 항의 비의 값으로 만든 수열의 항은 황금비의 값에 점점 가까워진다는 것을 알 수 있다.  특히  가 되어 황금비의 값과 거의 같아져. 앵무조개 껍질의 무늬, 해바라기 꽃씨의 배열, 선인장의 나선 배열, 솔방울씨의 배열, 파인애플 눈의 배열, 국화 꽃잎의 배열 등에는 바로 이 아름다운 황금비가 숨어 있다.

 

   

[생활 속의 황금비]

신용카드, 명함, 엽서의 비율

신용카드의 가로, 세로의 길이를 재어 보면 각각 8.56㎝와 5.398㎝로, 가로는 약 1:1.586임을 알 수 있다. 이 비는 황금비에 매우 가깝다. 요즘은 황금비가 사람의 시각을 편안하게 해 주는 아름다운 비율이라는 이유로 책이나 컴퓨터의 모니터, 텔레비전 화면, 영화관 스크린 등의 가로, 세로의 비율을 일부러 황금비에 가깝게 만들고 있다.